統計筆記（77）長期趨勢分析
構成時間數列的因素可以分成四類：長期趨勢、季節變動、迴圈變動和不規則變動。其中長期趨勢是由根本性原因引起的，客觀現象在一個相當長的時間內所呈現出來的持續性增加或減少的一種趨向和狀態。
基礎準備
- 基礎概念回顧：時間數列分析基礎；
構成時間數列的因素可以分成四類：長期趨勢、季節變動、迴圈變動和不規則變動。其中長期趨勢是由根本性原因引起的，客觀現象在一個相當長的時間內所呈現出來的持續性增加或減少的一種趨向和狀態。
研究長期趨勢的目的主要是為了認識和掌握現象發展的規律性，為統計預測提供必要條件；同時，也是為了將其從時間數列中剔除，以便分析其它因素對時間數列的影響。
測定長期趨勢的方法有很多，下面介紹兩種常用的方法：
- 移動平均法；
- 最小二乘法（趨勢方程法）；
- 移動平均法
移動平均法的實質是通過對變數值進行平均的方法，對原來的時間數列進行修勻，以消除季節變動、不規則變動等其他因素對數列產生的影響。移動平均法又可以分為簡單移動平均、加權移動平均和指數平滑三種形式。
簡單移動平均
簡單移動平均的基本過程如下：首先，確定移動的項數k，即每次平均時所包含的變數值的個數；其次，從時間數列的第一個變數值開始，每次向後移動一項，分別計算出k各數值的序時平均數；最後，將計算出來的每個移動平均數的數值與它所對應的時間對應排列，編制成一個新的時間數列。
舉例說明：某玩具公司近10年的銷售資料及其移動平均表格
從上表可以看出，對原時間數列來說，總的趨勢是逐年增加，但對於個別年份來說，有下降的情況，這是由於一些不可知的偶然因素影響造成的，為消除這種偶然因素的影響，可以進行移動平均。進行移動平均後得到新的時間數列沒有上下起伏波動，可以明顯放映銷售量變化的總趨勢。
應用移動平均法進行趨勢分析有幾個注意點：
1、應合理選擇移動項數。移動項數越多，修勻效果越好，但新時間數列項數越少，不利於進行長期趨勢分析；反之，移動項數越少新數列項數多，修勻效果不好。所以應根據所研究物件的具體特點，來確定移動的項數。如果原數列指標數值有週期性變化，應以週期的長度作為移動的項數。例如，季度資料作四項移動平均，月資料作十二項移動平均，這樣可以消除週期性的季節影響。
2、利用平均法進行長期趨勢分析時要有足夠的資料，否則不能如實放映現象固有的變化趨勢，這也是進行長期趨勢分析的前提條件。
3、移動平均後的數值要與原數列時間對應。如果是奇數項，平均數落在中間項上，例如，進行3項移動平均，移動平均數落在第2項（(k+1)/2）；如果是偶數項，平均數落在兩項中間，還應進行項數為2的移動平均，如下表：
4、移動平均法一般只適用於具有直線趨勢的時間數列。
加權移動平均法
簡單移動平均法每個觀測值都用相同的權數，即假定過去各期的資料對預測期的影響程度相同。但在加權移動平均中，每個觀測值被賦予相應的權重。例如，在大多數情況下，越近的資料應該有最大的權重，而較遠的資料的權重較低。
還是以上面例題作解，採用三項加權移動平均，最近時期觀測值的權數為最遠時期觀測值的3倍，中間時期觀測值的權數為最遠時期的2倍，結果如下：
以第一項為例說明：1/6*5+2/6*7+3/6*10=8.17。
如果相信較近時期的歷史資料比較遠的資料對預測未來更合適，則應該給予較近的資料更大的權重。對於波動很大的時間數列，用相等的權重較合適。
指數平滑法
指數平滑法是加權移動平均法的一種特殊情形。只選擇一個權數，即最近時期觀測值得權數，其它時期資料值的權數可以自動推算出來，觀測值離預測時期越遠，它的權數就越小。模型如下：
現在根據包含三個時期資料的時間數列Y1，Y2和Y3，來說明任何時期指數平滑法的預測值，同樣也是時間數列以前所有時期實際值的一個加權平均數。
可以得到一個結論，即任何預測值都是以前所有時間數列數值的加權平均數。平滑常數α可以選在0到1之間的任何數，但是有些α值會比其他α值能產生更合適的預測。為觀察如何得到一個合適的α值，將基本指數平滑模型改寫為：
以上面例題講解：
如果資料波動較大，α值應取大一些，可以增加近期資料對預測結果的影響。如果資料波動平穩，α值應取小一些。理論界一般認為有以下方法可供選擇：
經驗判斷法：
1、當時間序列呈現較穩定的水準趨勢時，應選較小的α值，一般可在0.05~0.20之間取值；
2、當時間序列有波動，但長期趨勢變化不大時，可選稍大的α值，常在0.1~0.4之間取值；
3、當時間序列波動很大，長期趨勢變化幅度較大，呈現明顯且迅速的上升或下降趨勢時，宜選擇較大的α值，如可在0.6~0.8間選值，以使預測模型靈敏度高些，能迅速跟上資料的變化；
4、當是上升（或下降）的發展趨勢類型，α應取較大的值，在0.6~1之間。
試演算法：
根據具體時間序列情況，參照經驗判斷法，來大致確定額定的取值範圍，然後取幾個α值進行試算，比較不同α值下的預測標準誤差，選取預測標準誤差最小的α。可以將平滑係數為0.3代入上面例題，比較兩者的誤差。
最小二乘法
最小二乘法就是根據資料點確定出趨勢方程，這裡又可以分為線性趨勢分析和非線性趨勢分析。
線性趨勢分析
線性趨勢分析的內容在前面已經很詳細的介紹過，這裡不再贅述。
回顧內容請見：
- 相關與回歸分析基礎；
- 一元（簡單線性）相關分析與回歸分析；
- 回歸參數的區間估計；
- 一元（簡單線性）回歸方程的假設檢驗；
- 範例分析：一元（簡單線性）相關與回歸分析；
- 多元線性回歸分析；
- 範例分析：多元線性回歸分析；
非線性趨勢分析
經濟現象的特點不同，發展變化趨勢也不同。可能是線性的，也可能是非線性的。在現實生活中，大量經濟現象的發展變化趨勢曲線形式很多，這裡先介紹兩種：二次方程曲線和指數曲線。
二次方程曲線
指數曲線
如何選擇分析模型
由於資料特點不同，變動趨勢也有差異，分析時應區分情況，選擇不同的分析模型，才能更好地放映現象的趨勢特徵。
方法一：通過散點圖確定使用哪一種分析模型，這種方法很不精確，有時難以區別趨勢類型。
方法二：結合時間數列的特徵分析，當所研究現象的一次差（數列逐期增加量或減少量）大致相同，適用直線進行趨勢分析；當所研究現象的二次差（一次差基礎上再逐期相減）大致相同，使用二次方程曲線進行分析；當所研究物件的環比速度大致相同時，則指數曲線較為合適。
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