統計筆記（72）一元（簡單線性）回歸方程的假設檢驗
相關程度的檢驗方法主要有三種
基礎準備
回歸與相關分析的歷史文章：
- 相關與回歸分析基礎；
- 一元（簡單線性）相關分析與回歸分析；
- 回歸參數的區間估計；
上面文章介紹了簡單線性相關與回歸分析的兩個主要模組：回歸方程建立及回歸參數的區間估計，但是它們都是建立在假定因變數和引數線性相關的基礎上。因此，對相關程度進行檢驗也是重要的，相關程度的檢驗方法主要有三種：
- 相關係數的檢驗
- 回歸方程的檢驗
- 回歸係數的檢驗
相關係數的檢驗
變差關係
先來一張圖：
如上圖所示：當給定X0時，Y的實際值與均值的差值就是Y值隨X值的全部變化，稱之為總變差。在總變差中，一部分變差可以用設定的回歸方程解釋，稱之為回歸變差；另一部分變差是回歸方程不能解釋的，稱為剩餘變差，它們之間有下面等式：
如果在總變差Y中，回歸變差所占的比例越大，則說明Y值隨X值的變化越顯著，或者說X解釋Y的能力越強。反之，回歸變差在總變差中所占比例越小，則說明Y值隨X值的變化越不顯著，或者說X解釋Y的能力越差。
對於所有數據點，變差之間的關係可以用離差平方和表示：
它們從左到右分別稱為：總離差平方和、剩餘平方和和回歸平方和。
決定係數與相關係數
回歸變差所占的比例越大，則說明Y值隨X值的變化越顯著。利用回歸平方和與總離差平方和的比值來說明X與Y的相關性，稱為決定係數，即有：
決定係數的開方被稱為相關係數，前面介紹過相關係數r（Excel資料分析工具：協方差與相關係數），計算公式為：
兩者的計算結果是完全一致的。
相關係數與決定係數都能表示變數之間的線性相關程度，但是相關係數計算更簡便且能表示相關關係的方向。
相關係數的檢驗
當已求得r值時，這個r值是真正刻畫了兩個變數之間的線性關係呢，還是僅僅由於樣本的偶然相關而引起的？僅憑相關係數的大小，不能直接說明變數之間是否存在線性相關，通過對r的檢驗，確定樣本是否抽自一個總體相關係數為0的總體，可以解答這個問題。可以證明r的t統計量服從自由度為n-2的t分佈：
範例分析
某市欲對貨運總量與工業總產值的數量關係進行研究，以便通過工業總產值預測貨運總量。現將1991-2000年的資料，列入下表中，根據這些資料對回歸方程相關係數r在顯著水準0.05做雙側檢驗。
解：運用Excel對資料進行回歸分析，得到回歸方程和決定係數R平方；
決定係數為0.9149，相關係數r=0.9565；相關係數r的假設檢驗過程如下：
回歸方程的檢驗
對回歸方程進行顯著性檢驗，就是看引數從總體上是否對因變數有明顯的影響。有回歸方程y=a+bx，如果b=0，則Y等於一個常數a，X與Y沒有任何關係，故方程不存在。如果b不等於0，則Y隨著X的變化而變化，說明方程有意義。
為了對b=0進行檢驗，需要構造一個檢驗的統計量。可以證明：在一元線性回歸中，當b=0時，有以下結論：
範例分析
某市欲對貨運總量與工業總產值的數量關係進行研究，以便通過工業總產值預測貨運總量。現將1991-2000年的資料，列入下表中，根據這些資料對回歸方程在顯著水準0.05做單側檢驗。
解：運用Excel對資料進行回歸分析，得到回歸方程和決定係數R平方；
回歸係數的檢驗
上面回歸方程的檢驗是利用b=0時，回歸方程的特性建立F統計量，進而進行假設檢驗。也可以構造另一個統計量t，如下：
利用上述t統計量即可對b進行假設檢驗。
範例分析
再次使用上面的例題：某市欲對貨運總量與工業總產值的數量關係進行研究，以便通過工業總產值預測貨運總量。現將1991-2000年的資料，列入表8-1中，根據這些資料對回歸係數b在顯著水準0.05做雙側檢驗。
解：運用Excel對資料進行回歸分析，得到回歸方程和決定係數R平方；
三種檢驗方法雖然各有側重，但在一元線性回歸方程的檢驗中，三種檢驗的作用是相同的，因此對於一元線性回歸方程而言，只要選擇一種方法進行檢驗即可。
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