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統計筆記（73）範例分析：一元（簡單線性）相關與回歸分析

利用回歸方程進行預測，如果X的取值範圍在樣本範圍之內，則預測相對是準確的。如果超出這個範圍，預測則要小心，因為在樣本資料之外變數所形成的關係可能會發生變化，而不再是線性關係。

基礎準備

前面以兩變數的簡單線性相關與回歸分析為例，分篇幅介紹了以下內容：

• 相關與回歸分析基礎；
• 一元（簡單線性）相關分析與回歸分析；
• 回歸參數的區間估計；
• 一元（簡單線性）回歸方程的假設檢驗；

今篇用例題將上面的內容串聯起來，講述簡單線性（一元）相關與回歸分析的完整過程。

範例分析

某個工廠生產運營多年，生產與銷售情況比較穩定。老闆想建立產量與單位成本的數量關係模型。現在收集了之前12年的產量與單位成本資料（如下表），根據這些資料說明產量與單位成本的數量關係，並通過產量預測單位成本。

立項分析

工廠運營一項很重要的工作就是成本控制。理論上，產品的產量與單位成本之間有內在聯繫。按照成本性質，產品成本由固定成本（折舊、人員工資等）和變動成本（包材、原輔料和水電氣等）構成，其中的固定成本總額在一定範圍內，與產量無關。當產量變動時，單位產品所負擔的固定費用也會變化，從而使單位成本發生變動。因此，產量變化與單位成本由相關關係，但還需要通過資料驗證。

1、散點圖。因為要分析的是產量對單位成本的影響，所以，將產量作為引數，單位成本作為因變數（回顧：一元（簡單線性）相關分析與回歸分析）。

從圖形上看，產量與單位成本呈負的線性關係，這與實際是相符的。

2、通過相關係數來驗證這種關係（回顧：一元（簡單線性）回歸方程的假設檢驗）。

相關係數可以通過決定係數計算，也可以通過協方差計算，兩者計算結果一致（回顧：一元（簡單線性）回歸方程的假設檢驗）：

從相關係數可見產量與單位成本具有負的高度線性關係，可以建立一元線性回歸方程。

3、建立一元線性回歸方程（回顧：一元（簡單線性）相關分析與回歸分析）

回歸方程表明隨著產量的增加單位產品成本降低。產量每增加100件，單位產品成本下降0.2元。當產量為0時，單位成本是16.45元，是固定成本發生的部分。

4、回歸方程的檢驗（一元（簡單線性）回歸方程的假設檢驗）

回歸方程的檢驗有三種方法（回顧：一元（簡單線性）回歸方程的假設檢驗），這裡用回歸係數檢驗方法，給定顯著水準0.05，進行檢驗。

5、區間估計（回顧：回歸參數的區間估計）

因為上面計算得到的回歸方程是一個點估計，可以在95%的置信水準下，根據樣本資料估計總體單位成本下降的置信區間。

b的雙側95%置信區間

資料說明，在95%的置信水準下，產量每增加100件，單位產品成本下降0.139~0.261元之間。

單位成本的預測

假設某年計算生產2800件產品，預測單位成本的95%置信區間。

將X=28代入回歸方程，Y=10.85，置信區間為：

計算結果說明，在95%的概率下，當產量為2800件時，產品的單位成本在8.85~12.85元之間。

利用回歸方程進行預測，如果X的取值範圍在樣本範圍之內，則預測相對是準確的。如果超出這個範圍，預測則要小心，因為在樣本資料之外變數所形成的關係可能會發生變化，而不再是線性關係。