統計筆記（58）方差分析：有交互作用的兩因素方差分析
如果多個總體由兩個因素影響，需要用到兩因素方差分析，就是在方差分析中需要考慮兩個因素對因變數結果的影響
基礎準備
在多樣本的參數估計與假設檢驗基礎和方差分析：單因素方差分析中以單因素方差分析為例，介紹了對於多個總體（大於等於3）均值假設檢驗的原理和假設檢驗過程，文章中多個總體是以單因素為標準劃分的，不同總體有n個水準，以下表為例：
如果多個總體由兩個因素影響，需要用到兩因素方差分析，就是在方差分析中需要考慮兩個因素對因變數結果的影響，兩因素方差分析有兩種類型：1、有交互作用的方差分析：兩個因素對因變數都有影響，同時還有兩因素同時存在時，共同對因變數產生的影響。2、無交互作用的方差分析：兩個因素對因變數的影響是獨立的，不存在對因變數的共同影響。它們的取樣要求也是不一樣的：
進行無交互作用的方差分析，一般是在完成有交互作用方差分析之後，當檢驗結果證明交互作用不顯著時，就可以不考慮這個影響，重新進行無交互作用的方差分析。
或者是在觀察（試驗）之前，有意識地控制某一因素，主要研究另一因素對因變數的影響，這樣的觀察（試驗）的結果也適合做無交互作用方差分析。
有交互作用方差分析步驟
1、建立建設
對於A因素（行因素）
H0: μ1=μ2=…=μr；
H1: μ1，μ2，…，μr不全相等。
對於B因素（列因素）
H0: μ1=μ2=…=μc；
H1: μ1，μ2，…，μc不全相等。
對於AB交互因素
H0: 不存在交互作用影響；
H1: 存在交互作用影響。
2、各均值的計算公式
3、計算各項離差平方和
4、計算均方
MSA=SSA/(r-1)
MSB=SSB/(c-1)
MSAB=SSAB/(c-1)(r-1)
MSE=SSE/rc(n-1)
5、構造檢驗的F統計量
對於A因素，FA=MSA/MSE~Fα[r-1,rc(n-1)]
對於B因素，FB=MSB/MSE~Fα[c-1,rc(n-1)]
對於AB交互因素，FAB=MSAB/MSE~Fα[(c-1)(r-1),rc(n-1)]；
對於上述三個因素，如果給定α，當F>Fα時，則可拒絕各自的H0，接受H1；如果F<Fα，則接受各自的H0，拒絕H1。
上述計算結果可以通過方差分析表：
範例分析
如果人事部門想同時研究獎勵制度和領導的類型兩個因素對員工生產力的影響，則需要調查更多的資料。下表給出了每個水準交叉單元都包含三個資料的調查資料。試檢驗各因素對員工生產力的影響是否一致？（α=0.05）
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解：1、建立假設
關於獎勵制度假設
H0: μ1=μ2=μ3；
H1: μ1，μ2，μ3不全相等。
關於領導類型假設
H0: μ1=μ2=μ3；
H1: μ1，μ2，μ3不全相等。
關於交互作用假設
H0: 不存在交互作用的影響；
H1: 存在交互作用的影響。
2、各均值的計算
根據題目資料，求出各均值，列於下表：
3、計算各項離差平方和
同樣可以證明SST=SSA+SSB+SSAB+SSE=6.222+28.667+65.775+25.333=126
4、計算均方
因素A差異，自由度為r-1=3-1=2，所以因素A均方MSA為：MSA=6.222/2=3.111
因素B差異，自由度為c-1=3-1=2，所以因素A均方MSB為：MSB=28.667/2=14.333
交互因素AB差異，自由度為(r-1)(c-1)=(3-1)(3-1)=4，所以交互因素AB均方MSAB為：MSAB=65.778/4=16.444
內部差異，自由度為rc(k-1)=3*3*(3-1)=18，所以內部均方為：MSE=25.333/18=1.407
5、構造檢驗的F統計量
FA=MSA/MSE=3.111/1.407=2.211
FB=MSB/MSE=14.333/1.407=10.184
FAB=MSA/MSE=16.444/1.407=11.684
方差分析表：
根據給定顯著水準α=0.05，查F分佈表，得F0.05(2,18)=3.55，F0.05(4,18)=2.93。
對於A因素，FA=2.211<3.55= F0.05(2,18)，落在接受域，即領導的類型對員工生產力的影響沒有顯著差別。
對於B因素，FB=10.184>3.55= F0.05(2,18)，落在拒絕域，即獎勵制度對員工生產力的影響顯著不同。
對於AB交叉作用，FAB=16.444>2.93= F0.05(4,18)，落在拒絕域，即AB交互作用對員工的生產力的影響是顯著不同的。這就是說，領導的類型的水準本身沒有影響，但當與獎勵制度水準結合時就產生了交互作用的影響。
在進行兩因素方差分析時，如果存在交互作用，主要影響就變得不再重要，就不能再使用通常的方法分析主要影響，檢驗結果已不能明確地說明行或列影響的差異是否顯著。因此，當存在交互作用的影響時，一般不應去解釋行或列因素的主要影響。
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