統計筆記（57）方差分析：單因素方差分析
對多個總體均值進行檢驗，需要用到方差分析方法
基礎準備
在多樣本的參數估計與假設檢驗基礎中以單因素方差分析為例，介紹了方差分析原理和推導過程，本篇從分析步驟角度再次介紹單因素方差分析：
對多個總體均值進行檢驗，需要用到方差分析方法（ANalysis Of VAriance，簡稱ANOVA）。例如，某工廠有A、B、C三台軋製板材的設備，如果想知道這三台設備軋製板材的厚度是否一致，就可以轉化為檢驗來自三個總體的均值是否相同的問題。以上面所說軋製板材為例，檢驗A、B、C三台設備軋製的板材厚度是否一致，可以建立如下假設：
H0: μ1=μ2=…=μr；
H1: μ1，μ2，…，μr不全相等。
三個總體均值是否相等無從知道，但是可以通過樣本均值是否有顯著差異來檢驗總體均值是否相等。
因為，如果H0為真時，則可以期望樣本均值很接近，如果樣本均值很接近，則推斷總體均值相等的證據很充分，就可以接受H0。
否則，當樣本均值相距較遠，就認為總體均值相等的證據不充分，從而拒絕H0，接受H1。
樣本均值之間距離的所謂遠近是相對的，是通過假定的共同方差的兩個點估計值比較得出的。第一個點估計是組內方差，用各個樣本方差估計得到的，只與每個樣本內部的方差有關，反映各個水準內部隨機性的變動。第二個點估計值是組間方差，在H0為真的前提下，由均值抽樣平均誤差計算得到，這樣得到的方差包含兩部分的變動：一是各個水準內部的隨機性變動，二是各個水準之間的變動。將組間方差與組內方差相比，可以得到一個F統計量（F=組間方差/組內方差），可以證明該統計量服從F分佈。
由推斷可知，如果三台設備軋製板材的厚度均值相差很小，即組間方差中的各個水準之間的變動很小，F比值會接近於1。
反之，則F的比值會顯著地大於1，根據上面計算得到的F值，在顯著性水準α給定的情況下，就可以做出是否接受三台設備軋製板材厚度均值相等的假設。
單因素方差分析步驟
現在假定一個因素B具有c個水準的因變數進行方差分析檢驗，例如上面提到的工廠軋製設備是因素，分別試驗軋製了10塊板材是水準。
1、建立假設
H0: μ1=μ2=…=μc；
H1: μ1，μ2，…，μc不全相等。
2、計算樣本均值和樣本方差
3、計算組間方差
4、組內方差的估計
5、構造F統計量進行檢驗
F=組間方差/組內方差=MSB/MSE~F(c-1, nT-1)
如果c個總體均值不相等，則組間方差（MSB）會大於組內方差（MSE）。當F值大到某一臨界值時，就可以拒絕H0。臨界值的大小由給定的α和自由度決定。所以，當給定顯著性水準為α時，F的拒絕域為F>Fα(c-1,nT-c)。
6、方差分析表
範例分析
例題：有8位食品專家對三種配方的食品隨機品嘗，然後給食品的口感分別打分（滿分10分），如下表。問三種配方的平均分數是否相同？（α=0.05）（假定打分服從標準相等的正態分佈）。
解：設μA，μB，μC分別代表配方1、2、3。已知因變數是分數，因素是配方，水準為3，具有相同的樣本容量8。根據題意建立假設：
H0: μA=μB=μC；
H1: 總體均值不全相等。
首先，計算樣本均值及方差
其次，計算組間方差MSB
第三，計算組內方差MSE
第四，計算F統計量
最後，查表Fα(c-1,nT-c)= F0.05(2,21)=3.47。因為F=1.119<3.47= F0.05(2,21)，落在接受域。所以接受H0，拒絕H1，即三種配方的口感分數沒有顯著的差異。
本文採用「CC BY-SA 4.0 CN」協議轉載自互聯網、僅供學習交流，內容版權歸原作者所有。
留言列表
