統計筆記（26）連續型隨機變數概率分佈——抽樣均值分佈
抽樣分佈十分重要，它是進行統計推斷的基礎，正是依賴抽樣分佈的理論，我們才能對總體的有關特徵作出具有一定概率保證的估計和檢驗。因此，深入理解抽樣分佈的概念並掌握某些重要的抽樣分佈，對於進一步學習統計推斷的其它方法將大有裨益。
統計量與抽樣分佈的概念
統計推斷的目的，就是通過樣本的特徵值去推斷總體的特徵。在推斷統計中將描述總體特徵的指標都稱為總體參數，而將反映樣本特徵的指標稱為樣本統計量。例如，總體的µ(總體均值)和σ(總體標準差)都是總體參數，而樣本的 x̅ (樣本均值)和S(樣本標準差)就是樣本統計量。因此，所謂推斷，就是用樣本統計量去推斷總體參數。
樣本統計量的數值是根據被抽取的樣本資料計算的，在沒有抽出具體樣本之前，樣本統計量的數值就不能確定，他是個隨機變數。以 x̅ (樣本均值)為例，當總體中有N個個體，從中抽出n個個體作為樣本。如果採取非重複抽樣的方式，將有CNn個抽法，也就是說可能有CNn個樣本產生，每一個樣本都可以計算出一個 x̅ (樣本均值)的數值，CNn個樣本就可以有CNn個X數值。由此可見，對於 x̅ 來說，在沒有確定抽出一個樣本之前它是個不確定量，或者說是個隨機變數。
概括的說，在已經抽取樣本後，樣本統計量是一個確切的數值;在未抽取樣本之前，樣本統計量就是一個隨機變數。樣本統計量雖然是個隨機變數，但其變數值卻具有某種概率分佈，利用這些概率分佈可以對總體參數進行有效的估計和檢驗。在統計學中，將這種樣本統計量形成的概率分佈稱為抽樣分佈。常用的抽樣分佈有：
- 樣本均值 x̅ 的抽樣分佈
- 卡方分配
- t分佈
- F分佈
樣本均值抽樣分佈
不論總體服從什麼分佈，只要總體均值µ和總體方差σ2存在，當樣本容量n足夠大時，樣本均值x̅ 的抽樣分佈就近似與正態分佈。下圖描述了來自不同總體分佈的樣本均值的抽樣分佈，可以看到，當n從2到30時，樣本均值已經近似於正態分佈了。如下圖所示:
解析:
從一個x～N(µ,σ2)的正態總體中抽樣時，樣本均值x̅的抽樣分佈總是服從與正態分佈，記為x̅～N(1,σ1平方),1是樣本均值X所有可能取值的平均數。可以證明1=(樣本均值和總體均值相等)。σ1是樣本均值X所能取值的標準差，也稱為平均數的抽樣誤差。σ1雖然在理論上可以求出，但在實際抽樣中則很難求得。人們經常利用總體標準差σ來表示σ1，有兩種情況：
(1)從無限總體抽樣或從有限總體重複抽樣時
(2)從有限總體非重複抽樣時
其中
被稱為有限總體修正係數，在實際抽樣中，當抽樣比n/N<=0.05時,修正係數近似等於1,則上述兩種計算式近似相等。
例題：
例如，有1，2，3，4，5組成的一個總體，現從中抽取2個數值為樣本。如果重複抽樣，將有5*5=25種抽法;如果非重複抽樣，將有C52=10種抽法。我們將所有可能抽樣結果列在表1和表2種：
從表1中的資料，可以計算得出：µ1=3,σ1=1。從表2中可以得出:µ2=3,σ2=0.866。
上述關於樣本均值X抽樣分佈的特徵值和σ都可以根據總體特徵值得到。因為總體為1，2，3，4，5，所以可以計算得到=3，這與上述兩種抽樣方法計算的結果都相等，從而驗證了=1=2=3.又已知總體的標準差
在重複抽樣時
在非重複抽樣時
由此可見，由公式計算得到了結果和實際計算得到的結果完全一致。
通過本例，我們主要說明以下三個問題：
1、樣本均值的抽樣分佈的特徵值與總體參數存在著確切關係。
2、樣本均x̅值是個隨機變數，且服從概率分佈。不論總體為何種分佈，當n≥30時，總有X服從正態分佈。所以，n≥30的樣本被稱為大樣本;n<30的樣本稱為小樣本。
3、重複抽樣的抽樣誤差大於非重複重複抽樣的抽樣誤差(1>0.866)。因此，實踐中大多數抽樣均使用非重複抽樣。(不可重複)
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