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統計筆記（16）離散型隨機變數概率分佈——超幾何分佈

超幾何分佈是統計學上一種重要的離散概率分佈。它描述了由有限個物件中抽出n個物件，成功抽出指定種類的物件的個數（不歸還）。

例如：在有N個樣本，其中m個是不合格的。超幾何分佈描述了在該N個樣本中抽出n個，其中k個是不合格的的概率：

小白学统计（16）离散型随机变量概率分布——超几.jpg

 

上式可如此理解：Cmk表示所有在m個樣本中抽出k個的方法數目。CNn表示在N個不合格樣本中，抽出n個的方法數目。C(N-m)(n-k)表示剩下來的樣本N-m都是及格的，從中抽取出n-k個的方法數目。

若n=1，即從N個樣品中抽取一件，恰好抽到不合格樣品的概率，此時，超幾何分佈可以還原為伯努利分佈。（伯努利分佈內容請見文章——離散型隨機變數）

{\displaystyle f_{X}(x)=p^{x}(1-p)^{1-x}=\left\{{\begin{matrix}p&{\mbox{if }}x=1,\\q\ &{\mbox{if }}x=0.\\\end{matrix}}\right.}

若N無窮大，歸還和不歸還對於樣品整體的不合格樣品率沒有影響，此時，超幾何分佈可視為二項分佈，在實際應用時，只要N>=10n（取樣數小於樣本總體數的十分之一），就可用二項分佈近似描述不合格品個數。（二項分佈內容請見文章——二項分佈）

{\displaystyle f(k,n,p)=\Pr(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}

{n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}

 

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