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統計筆記（19）連續型隨機變數概率分佈——正態分佈

常態機率分配是連續型隨機變數概率分佈中最重要的形式，它在實踐中有著廣泛的應用。在自然界和人類社會，有許多現象的分佈都服從常態分配，如人的身高、體重、智商分數；某種產品的尺寸和品質；降雨量；學習成績，特別是，在統計推斷時，當樣本的數量足夠大時，許多統計資料都服從正態分佈。因此，正態分佈在抽樣理論中佔有重要地位。另外，正態分佈還是其他連續型概率分佈的極限分佈，可用正態分佈近似計算或匯出其他連續型概率分佈。

如果隨機變數X具有概率密度函數

則稱X是服從參數為µ，σ²的正態分佈。式中＝µ均值，σ＝標準差，π＝3.14159，e＝2.71828。

如果隨機變數X服從正態分佈，記為X～N(µ，σ²)。µ，σ是決定正態分佈的兩個參數。µ決定水準位置，σ決定離散程度。

正態分佈的概率密度函數具有下列性質；

1. 以x＝µ為對稱軸的對稱分佈；
2. 以x軸為漸近線；
3. 若隨機變數X1,X2…,Xn皆服從正態分佈，且相互獨立，則對任意幾個常數a1,a2,…,an(不全為0)，Z=a1X1+a2x2+……+anXn也服從正態分佈。

用正態分佈曲線積分求得概率是非常困難的，這樣的積分只能用數值方法求出。同時，提供包括所有不同的 µ 和σ的正態分佈表也是不可能的。所以統計學家通過一種簡單的方法來解決這一問題。對於一個隨機變數X～N(µ，σ²)，如果令Z=(x-µ)/σ，則隨機變數Z服從µ=0, σ²=1的正態分佈，記為Z～N(0,1)，稱為標準正態分佈。

標準正態分佈的概率密度函數為：

通過上式可以看出標準正態分佈不再依賴於參數µ和σ，它是固定的，是唯一的。因此，標準正態分佈中隨機變數與其概率的對應關係被計算出來，並列為標準正態概率分佈表，以便查詢。於是，對於不同的µ和σ，只要將變數值轉化為Z值，然後查表即可得到其概率值。

例子：已知研究生完成一篇碩士論文的時間服從正態分佈，平均花費2500h，標準差為400h，現隨機找到一個已完成論文的學生，求：

（1）他完成論文的時間超過2700h的概率；

（2）他完成論文的時間低於2000h的概率；

（3）他完成論文的時間在2400h～2600h之間的概率。

解：用X表示完成論文的時間，則X～N(2500，400²)。這是非標準的正態分佈，如果直接計算概率是非常麻煩的，我們首先將其轉化為標準正態分佈，然後通過標準正態分佈表查出變數的概率值。

（1）求P(X>2700)

Z=(x-µ)/σ=(2700-2500)/400=0.5

可以查詢標準正態分佈概率表，表中第一列是z值，第一行是z值的補充值，其餘數值為X值到0之間的積分面積，也即是概率值。現z=0.5求的是從0.5到+∞的區間上的概率。首先找到z=0.5行，該值沒有補充值，查到0.00列與0.5行交叉的數值為0.1915，該值是0.5到0之間的概率值，需用0.5（概率對稱性，一半的概率）減去0.1915（正態分佈的對稱性質，左右概率各占0.5），所得0.3085即為所求。

（2）求P(X<2000)

Z=(x-µ)/σ=(2000-2500)/400=-1.25

在附表中，z沒有負值，但根據正態分佈的對稱性，1.25的概率值與－1.25的概率值完全對稱，所以只查1.25的概率值即可。查表的z=1.2行，0.05列，兩者交叉數值為0.3944，這個數值是0到1.25之間的概率，也相當是－1.25到0之間的概率。題中所求是小於2000h的概率，所以是－1.25的左側概率。仍然要用0.5（概率對稱性，一半的概率）減去0.3944，得0.1056。

（3）求P(2400<X<2600)

Z₁=(x-µ)/σ=(2600-2500)/400=0.25

Z₂=(x-µ)/σ=(2400-2500)/400=-0.25

查表可得，z=0.2行與0.05列，交叉值為0.0987，即所求概率為0.0987×2=0.1974。

根據標準正態分佈表我們可以得到，有95.44%的z值在z=µ+/-2σ之間變動，有99.74%的z值在z=µ+/-3σ之間變動。由此可以得到一個非常重要的結論；對於任意的正態分佈，其隨機變數值幾乎全部（99.74%）會落在µ-3σ和µ+3σ，這就是在品質控制中經常用到的3σ原則。

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