統計筆記（45）單樣本的假設檢驗
基礎準備
假設檢驗基礎概念回顧：
單樣本假設檢驗的應用
假設檢驗需要設立一對統計假設：原假設（零假設）和備擇假設（對立假設）。其中原假設一般是一明確的語句：未知的總體參數等於某個特殊的數值，然後對其進行檢驗。
因此，單樣本假設檢驗可用於探測參數的變化，例如：在科學研究中，檢驗某新型的汽油添加劑是否能增加每升油的行駛公里數？
某新型血壓藥對體溫是否有影響？在工業品質控制中，工廠檢查其薯片產品是否與列在包裝上的脂肪含量一致；檢查巧克力的重量是否與包裝上重量一致等等。
單樣本假設檢驗步驟
單樣本假設檢驗步驟如下：
(1)選擇零假設和對立假設；
(2)選擇顯著水準α；
(3)決定檢驗統計量，由此統計量及α來確定檢驗的決策規則，並用P值或臨界值描述；
(4)從總體取一隨機樣本，並從樣本計算檢驗統計量的值，若可能，計算P值；
(5)由樣本結果和決策規則決定是拒絕還是接受原假設（零假設）；
(6)檢驗的功效。
(1)選擇零假設和對立假設
一個零假設和一個對立假設組成一對統計假設（原假設和對立假設的概念描述請回顧：假設檢驗原理——原假設和備擇假設的建立），這樣成對的統計假設可以分為兩類三種：單側假設核對總和雙側假設檢驗（兩類）；無方向對立假設、左向對立假設和右向對立假設（三種）。那如何選擇統計假設呢？
單側假設檢驗：只有一個方向上的變化是重要的（某種新型減肥藥實際減肥多少）或研究的假設預告了一個具體的變化方向（某種新的治療腫瘤會減小）時用單側假設合適。有的需要檢驗是否變大，有的檢驗是否變小。
雙側假設檢驗：對於探索性研究和品質控制，因為任何一個方向的變化都要檢查，單檢驗就不合適了，應該用雙側假設檢驗，例如控制產品的重量和產品內某種物質的含量。
(2)選擇顯著水準α
回憶估計理論，總體均值的區間估計概率公式如下：
其中，1-α稱為置信度或置信係數，(1-α)100%稱為置信水準。以雙尾為例，如下圖：
在假設檢驗理論中，α是假設檢驗的顯著水準，這是因為它用以評估樣本結果的顯著性，如果點估計值與零假設中的假設參數有很大差別，以至於P≤α，則拒絕零假設，該結果稱為統計顯著；如果P>α，則接受零假設，該結果稱為不是統計顯著的。如上圖所示，臨界域即為統計顯著域，接受域為非統計顯著域。
顯著水準α在試驗前設定為0.05或0.01。例如當α=0.05時，分析人員會在報告中說明“統計假設檢驗是在0.05顯著水準（或5%顯著水準）下進行的”，如果P≤0.05，則拒絕零假設，該結果稱為統計顯著；如果P>0.05，則接受零假設，該結果稱為不是統計顯著的。
從上圖中可以看出，如果P≤0.05，陰影面積比P≤0.01的大，所以P≤0.05可說成是“顯著的結果”，P≤0.01可說成是“高度顯著的結果”。P≤0.01比P≤0.05發生第一類錯誤的概率α小。
(3)決定檢驗統計量，由此統計量及α來確定檢驗的決策規則，並用P值或臨界值描述；
(4)從總體取一隨機樣本，並從樣本計算檢驗統計量的值，若可能，計算P值；
根據假設檢驗的總體參數和已知的資訊，選擇假設檢驗的統計量。在上一篇：假設檢驗的“前世今生”中解釋過合適的統計量是假設檢驗的基礎。
對於總體均值的假設檢驗，可用下表選擇：
對於總體方差的假設檢驗，可以用卡方分佈。
下面以Z統計量為例，說明假設檢驗原理：
如果在(1)中設定的總體均值的統計假設是雙側假設：H0:μ=μ0；H1:μ≠μ0。假定零假設為真，則可知：如果所有容量為n的隨機樣本來自於無限大的正態總體（已知標準差為σ），且對每一樣本計算均值，該情況下均值的抽樣分佈是正態分佈：
因為抽樣分佈為正態
分佈，可進行正態變換，將抽樣分佈統計量變換為Z統計量：
變換後的Z統計量可以用來度量零假設為真的可能性。如果對一個給定樣本計算Z統計量的特定值，幾座z1，若z1=0，該樣本均值一定等於μ0（紅框公式），因而H0:μ=μ0很可能為真。然後，當z1是一較大數時，在零的正或負向，即z1=α或z1=-α，則樣本均值與μ0有相當距離，因此，H0:μ=μ0不太可能為真。通過計算P值，即可將可能性量化，進而進行統計假設檢驗決策。如下圖所示：
P值得計算：
對於雙側假設檢驗，P值就是兩個陰影部分的面積和（如上圖所示）；如果是單側假設檢驗，就是左側面積或者右側面積。陰影部分面積用標準正態分佈表查得。
(5)由樣本結果和決策規則決定是拒絕還是接受原假設（零假設）；
將計算得到的P值與顯著水準α比較，P≤α，則拒絕零假設，接受對立假設；如果P>α，則接受零假設。
另外也可以通過比較臨界z值來決定是拒絕還是接受零假設。因為P值和z值是等價的，例如，如果z1>1.645成立，則P≤0.05成立。
(6)檢驗的功效
在兩類錯誤介紹中：假設檢驗——兩類錯誤，可列出下面的表格：
從表格可以知道，第一類錯誤（零假設為真拒絕）的概率α是檢驗的顯著性水準：若P≤α，則拒絕零假設。然而在任何此種統計決策中，存在第二類錯誤：就是零假設不真被接受，它的概率是β。α和1-α是已知的，由研究者在檢驗前設置，但β和1-β的值是不能確定的，因為不知道總體的參數，所以無法證明H0的真與不真。但是α和β的關係是相反的：α越大，β越小，反之亦然。如下圖所示：α越大，接受域越小，接受不真的零假設的概率β也越小。
假設檢驗的功效就是正確拒絕錯誤零假設的概率1-β。求解方法見例題。
範例分析
如果某電池生產商最近設立了一個改進計算器電池的專案，要求改進的電池比現有的電池使用時間長，已知現在計算器中，電池壽命的量度是正態分佈的，均值為100.3min，標準差為
6.25min。現在開發了一種改進電池，在理論上可能持續更長時間，由初步檢驗可以假定期壽命量度也是正態分佈，標準差為6.25min。選取了一個n=20的改進電池的樣本，得到均值為
105.6min，在顯著水準α=0.05下，作H0: μ=100.3min的單側檢驗，並用P值（z值）敘述決策。
假設功效，如下圖所示：
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