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統計筆記（50）假設檢驗時，樣本容量的確定

如果統計量的數值落在接受域內，則作出的結論可能犯“取偽”錯誤，而且犯“取偽”錯誤的概率β是不可知的。

如果統計量的數值落在接受域內，則作出的結論可能犯“取偽”錯誤，而且犯“取偽”錯誤的概率β是不可知的。但是，在實踐中，有些決策既需要控制犯“棄真”錯誤的概率α，也需要控制犯“取偽”錯誤的概率β。在這種情況下，可以通過樣本容量的改變來滿足這種要求。

例如，我們假設

H₀:μ=μ₀

H₁:μ>μ₀

如果σ已知，n為大樣本（或正態總體），則可以確定

上式即為在α和β都確定後的樣本容量計算公式。在使用上式時還需注意，當假設為H₀:μ=μ₀   ;   H₁:μ<μ₀時，上式中的分母為(µ₀－µ₁)²，其值與(µ₁－µ₀)²相等，因此n不變。當假設為H₀:μ=μ₀   ;   H₁:μ≠μ₀時，公式中的Z_α用Z_α/2代替。

下面我們通過一個例題來說明n的確定方法。

例題：有人說某學院學生平均每天的鍛煉時間至少30min。隨機在該學院中選取100名學生，他們每天平均的鍛煉時間為31min，已知學生鍛煉時間的標準差為12min。試在α＝0.05的顯著性水準下，檢驗該人的說法是否可信。

解:本例是對總體均值的單側檢驗問題。

根據題意假設

H₀:μ=30; H₁:μ>30。

已知n＝100為大樣本，樣本均值為31min，標準差為12min，根據上式可以構造統計量，即

查標準正態分佈表得Z_0.05＝1.64。所以Z＝0.833落在接受域內。即接受原假設，拒絕備擇假設，此人的說法不可信。

上面這個例子中的結論有可能犯“取偽”錯誤，即真實的運動時間已經超過了30min，但卻沒有得到證明。現在我們來重新對上例進行檢驗。仍然假設H₀:μ=30; H₁:μ>30，給定α＝0.05。 β也可同時給出，但β是與真實的總體的均值聯繫在一起的。 因此當我們無法知道真實的總體均值時，可以逐一假設真實總體均值，從而得出不同的β值。 在本例中，先假設真實總體的均值μ₁＝33min。首先有公式計算：

由標準正態分佈表中可查到臨界點0.86到0點的概率為0.3051.所以由-0.86到－∞的概率為β＝0.5－0.3051＝0.1949。

依此類推，可以通過計算得到在不同假設真值μ條件下的β值。如下表所示：

上表中的1－β表示原假設不真時，被拒絕的概率；1－β也稱為功效函數。 可以看到，當μ值離30很近時，1－β值很小，並且以原假設的30為極限；當μ離30較遠時，1－β值逐漸增加。這就是說，如果真實的μ值離原假設的30相距不遠時，犯“取偽”的錯誤的可能性是很大的；反之，相距較遠時，則犯“取偽”的錯誤的可能性就很小。本例中當μ₁＝35時，β＝0.0057，即取偽的錯誤概率只有0.57%，幾乎不可能發生。

根據給定α以及確定樣本容量n以後，就可以知道在不同真實總體均值的情況下，β值的大小。在上表中，當μ₁＝33時，β＝0.1949。但如果在檢驗中，我們希望μ₁＝33時，犯“取偽”錯誤的概率β＝0.1，而不是0.1949。就是說在檢驗時，如果學生鍛煉時間是33min，那麼檢驗者只想冒β＝0.1的風險接受H₀為假時的假設，而不是β＝0.1949。 對此，只能通過調整樣本容量來完成。如檢驗前確定α＝0.05，μ₁＝33時，β＝0.1，則根據公式計算n，即

即滿足上述要求的樣本容量是137人，比原來調查的100人增加了37人。

有本例可以看到，當n一定時，α增大，β將減小；α減小，β將增大。當α一定時，n增大，β將減小；n減小，β將增大。所以，在實際檢驗中，當n一定時，研究者並不是選擇很小的α。因為這樣的選擇雖然可以使“棄真”錯誤減少，但同時也增加了“取偽”錯誤的概率。

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