統計筆記（48）單樣本假設檢驗範例分析及違背假定的情況
對於標準差未知的總體均值，總體方差和總體標準差的假設檢驗應該如何進行呢？
學習到這裡，大家應該已經知道：進行總體參數的估計或假設檢驗是基於有關總體以及所考察樣本特徵的非常精確、非常嚴格的假定，它們描述了所研究的特徵例如參數的性質，分佈的形狀和抽樣的類型。
例如，對於標準差已知的無限大正態總體，抽取容量為n的樣本，則樣本的均值抽樣分佈是正態分佈的，可以進行Z變換，從而使用Z統計量進行總體均值的估計和假設檢驗。
對於標準差未知的總體均值，總體方差和總體標準差的假設檢驗應該如何進行呢？下面這個表格列出了不同的假設前提下，抽樣分佈的類型，適用的統計量和參數的估計情況。
下面以具體的範例分析進行說明。
總體均值假設檢驗：標準差已知的正態總體
已知條件適用Z統計量精確（查上表）。
範例：某銷售胡蘿蔔種子的公司在宣傳其產品時表示此種子的胡蘿蔔平均長度為11.5cm。現取40個長成的胡蘿蔔樣本，得其平均長度為11.8cm，假定長度測量值總體是標準差為1.15cm的正態總體，在顯著水準0.05下，用臨界決策規則給出H0:μ=11.5cm；H1:μ≠11.5cm的雙尾檢驗。
解：因為是正態總體，且總體標準差已知，可以用Z統計量，假設檢驗過程如下：
總體均值假設檢驗：標準差未知的正態總體
從上表可知，在該情況下，可以用T統計量進行假設檢驗。
範例：標準的牙科麻醉劑在注射後平均10.5min後會消除感覺。現在有一種新型麻醉劑，製造商聲稱其作用比標準麻醉劑能更快消除感覺。有一名醫生決定做一個實驗，他隨機對10名患者使用這種新型麻醉劑，並記錄他們失去感覺的時間：9.3,9.5,9.2,9.0,9.3,9.5,9.4,9.3,9.2,9.1。在顯著水準0.01下，進行假設檢驗，說明該廠商的說法正確與否。
解：因為以前麻醉劑生效的時間是正態分佈，所以合理的假定新型麻醉劑也是正態分佈，是正態總體；因為關心的是生效時間減少，所以用左尾假設檢驗；由於總體標準差未知，所以用t統計量；假設檢驗過程如下：
總體均值假設檢驗：來自任意分佈總體的大樣本（N≥30）
從上表可知，如果是大樣本（N≥30），根據中心極限定理，不論總體的分佈情況，均值的抽樣分佈近似正態分佈[如果有限總體無放回抽樣，則總體容量N必須為樣本容量的至少兩倍]。可以用Z統計量。
範例：一條省際高速公路上有一段彎曲的下坡路段比較繁忙。相關部門正在研究這一繁忙路段是否需要拓寬。用雷達儀測量了經過該路段中點的85輛汽車的行駛速度，得到平均速度為66.3mph，如果從以往的研究中知道總體標準差為8.3mph，現在想知道在顯著水準0.05下，這一段高速公路上的汽車是否比限制速度65mph快。
解：由於總體標準差已知，樣本足夠大且總體容量為樣本容量的至少兩倍大，所以可應用中心極限定理假定樣本均值的抽樣分佈近似正態分佈，用Z統計量進行假設檢驗：
總體方差(標準差)的假設檢驗：正態分佈總體
在卡方分佈文章中介紹，正態總體的方差估計可用卡方統計量，假設檢驗同樣如此。
範例：某品牌355ml蘇打飲料標籤上標明含有35毫克的鈉，為表明蘇打中鈉的含量保持在34.5毫克，標準差為0.24毫克，在正常的品質控制檢驗中，會從生產線上隨機選取了10瓶，若樣本的標準差明顯大於0.24毫克(在顯著水準0.05水準下)，則停止生產線，且調整蘇打配置程式。如果在一次這樣的檢驗中，得到標準差為0.29毫克，是否有必要調整配置流程？
解：根據題意，該品牌355ml蘇打飲料中鈉的含量是正態分佈的，所以驗證標準差是否大於0.24毫克，可以轉化為方差大於0.0576，這樣可以使用卡方統計量，假設檢驗過程如下：
違背假定的情況
從單樣本的假設核對總和上面的案例可以有總結：如果抽樣分佈可以認為是正態分佈、t分佈、卡方分佈或近似這些分佈，假設檢驗的結果是穩健的。但是如果總體分佈及標準差未知有是小樣本，如何？
分析這樣的小樣本，第一步是看樣本分佈的形狀。有下面的方法：(1)相對頻數分佈或莖葉圖可以很快給出分佈是對稱的還是有偏斜、單峰還是多峰。(2)使用正態概率紙，畫出樣本的累計百分數分佈，在概率紙上畫出的正態分佈的累計百分數分佈應是一條直線。(3)利用擬合優度檢驗，比較樣本頻數與期望的正態分佈頻數（後續發佈）。
如果這些檢驗表明與正態分佈存在嚴重偏離，則下一步是試圖對資料進行變換。通常將資料從一個測量尺度轉變成另一測量尺度。例如：如果樣本分佈是正偏的，可以用對數變換：樣本中的每個測量值變換為它的對數值。
如果變換成功且基本滿足檢驗的假定，則可對變換後資料進行假設檢驗。如果資料嚴重偏離參數假定，且找不到合適變換以滿足假定，則不能進行參數假設檢驗。這時，可以用非參數方法來分析資料的其他方面，這並不需要嚴格的假定。（後續發佈）
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