統計筆記（67）非參數方法：秩次檢驗
秩次檢驗對總體分佈無更多假定，由於沒有充分利用樣本資訊，且功效較低，因而只有當參數方法不適用時才採用秩次檢驗。
基礎準備
- 參數方法與非參數方法區別：非參數方法：卡方檢驗的運用
秩次檢驗
前一篇介紹了卡方檢驗的應用（非參數方法：卡方檢驗的運用），今篇介紹的秩次檢驗也是非參數方法的一種。秩次檢驗對總體分佈無更多假定，由於沒有充分利用樣本資訊，且功效較低，因而只有當參數方法不適用時才採用秩次檢驗。
秩次檢驗，顧名思義就是排序的意思，其原理是基於總體中的所有個體以相等的數量（區域）分佈在中位數的兩側。
將樣本與中位數（已知或假設）之差進行排序，進而得到樣本在中位數兩側的數量（區域），根據數量（區域）的多少，即可檢驗假設的中位數是否正確，也可以驗證抽取樣本的總體是否等於某種分佈。
秩次檢驗主要有以下幾種：
- 單樣本檢驗：總體中位數是否等於某個常數；
- 兩樣本檢驗：兩總體中位數是否相等；
- 兩樣本檢驗：兩獨立樣本是否來自一個總體；
- 多樣本檢驗：k個獨立樣本是否來自一個總體；
- 成對樣本檢驗：單調相關性檢驗；
下面以前三種運用來舉例說明其運用方法。
單樣本檢驗：總體中位數假設檢驗
單樣本秩次檢驗是用來確定總體的中位數是否等於某個假設值，又被稱為Wilcoxon符號秩檢驗。這是基於中位數的定義：若總體的中位數等於假定值，則樣本中有一半大於該值，而另一半小於該值。檢驗統計量是建立在差的得分基礎之上的，差的得分可通過將每個觀測值減去假定的中位數而得。
對於小樣本（樣本容量小於30），Wilcoxon符號秩檢驗程式如下：
1、隨機抽取一個樣本，對於每個樣本觀測值，減去零假設給定的中位數，將這些差的得分取絕對值，然後排序，記錄下其所在位置作為其秩（順序），最小的秩為1，最大的秩為n。
若兩個差得分相同，則取其所在位置的平均（如，兩個差的得分排在第四位，則這兩個差的得分的秩均為4.5，即4與5的算術平均）；
2、將差的得分的原始符號（+或-）附在其相應秩的前面，正秩的和記為W+，負秩的為記為W-，若零假設為真，則每個秩應等可能的取+或-，從而絕對值的W+和W-應近似相等；
3、算出W+和W-的絕對值以後，需要檢驗統計量：對比W+和W-絕對值中較小值與Wilcoxon臨界值表相應臨界值（相應顯著水準和樣本容量條件下），判斷是拒絕原假設還是接受原假設。
範例：一位電影評論員按照從1（最差）到10（最好）的標準評價電影。工作20年後，其評分中位數為6.3。他退休後，公司雇傭另一人接替他的工作，工作一個月後，這位新評論員共觀看了10部電影，評分是：3.8，5.6，1.8，5.0，2.4，4.2，7.3，8.6，9.1，5.2。公司領導想瞭解這位新評論員與其前任在評分上是否有所不同，給定顯著水準0.05，利用臨界值決策規則，對零假設：兩位評論員的評分中位數相同，做雙側Wilcoxon檢驗。
兩樣本檢驗：兩總體中位數是否相等
該秩次檢驗又稱為相依樣本的Wilcoxon符號秩檢驗，與單樣本的Wilcoxon符號秩檢驗相比，相依樣本的Wilcoxon符號秩檢驗研究觀測值成對抽取時，成對樣本中位數的差。檢驗步驟與單樣本基本一致。
範例：一位牛奶場主想知道某種激素是否會增加奶牛的產奶量，為此，他隨機抽取10頭奶牛做觀測，對於每頭奶牛，記錄其產奶量，經這種激素處理一周後，再記錄其產奶量，測量結果如下：(30,34);(25,35);(22,27);(25,24);(23,25);(34,26);(33,24);(30,24);(24,27);(32,21)，每對資料的第一個代表用激素前的產奶量，後一個代表用激素處理一周後的產奶量，給定顯著水準0.05，利用臨界值決策規則，對原假設：激素處理前後奶牛產奶量不變，做單側Wilcoxon檢驗。
兩樣本檢驗：兩獨立樣本是否來自同一總體
該秩次檢驗又稱為Wilcoxon-Mann-Whitney檢驗，研究兩個獨立樣本是否來自同一個總體。零假設是兩抽樣總體的分佈相同；備擇假設是它們不同或者一個比另一個大（一個總體的個體數量大於另一個總體的個體數量）。
檢驗步驟：將來自樣本1的觀測值與來自樣本2的觀測值合併，然後從小到大排序，記下其所在位置作為秩，若有一些觀測值相同，則取算術平均作為秩。如果兩個總體的分佈相同，這兩個樣本的秩應該是隨機混合的，如果兩個總體的分佈不同，則一個樣本的秩將高於另一個樣本的秩。定義樣本1所有秩的和為,R1，樣本2所有秩的和為R2，有下面檢驗統計量：
取U1和U2中較小者作為Mann-Whitney檢驗統計量。
範例：某公司人事經理想知道公司文科畢業生和理科畢業生工作10年後是否有相同薪金。為此，隨機選取10位文科畢業生，調查結果如下：35000,30000,45000,42000,50000，52000，25000，38000，40500，41000；又隨機選取13位理科畢業生，調查結果如下：35500，40000，48000，53000，58000，57000，54000，49000，49500，51000，51500，57500，52500。給定顯著水準0.05，利用臨界值決策規則，對零假設：兩種薪金的分佈相同，做雙側Mann-Whitney檢驗。
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