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統計筆記（28）抽樣分佈：t分佈

有正態總體（均值為μ），定義隨機變數T（見下方公式），它的值為t（變數用大寫字母表示，具體的值用小寫字母表示）。

定義隨機變數

有正態總體（均值為μ），定義隨機變數T（見下方公式），它的值為t（變數用大寫字母表示，具體的值用小寫字母表示）。從該正態總體取容量為n的樣本，並計算樣本均值和標準差。

t分佈

定義：如果容量為n的所有可能樣本均來自正態分佈總體（均值為μ），並且對每個樣本都計算出隨機變數T的值t，則t值有一個連續型概率分佈（抽樣分佈），稱為t分佈，函數如下：

t分佈是一個分佈族，每個整數自由度對應一個分佈，如下圖所示；可以看到，每個分佈都是鐘型且關於均值0對稱，並且分佈從負無窮到正無窮連續延伸。當自由度無限時，t分佈就是標準正態分佈。隨著自由度越來越小，曲線就越來越平坦，一般認為，自由度小於30時，分佈與標準分佈相差較大。

自由度

t分佈有一個參數叫做自由度，它的值等於樣本容量減去1。為什麼不等於樣本容量呢？可以從自由度的定義來解釋。

與一個統計量相聯繫的自由度個數可以看做是，在計算該統計量時用到的無限制的、自由變換的數值的個數。例如，如果統計量是樣本中n個值得和，並且沒有任何限制，可以從樣本選取任意n個值求和，因此，該統計量的自由度為n。

如果統計量時樣本標準差S，在計算中有1個限制：n個值必須有均值，所以先要用這n個值計算出均值，這樣就減少了一個自由度，於是樣本標準差（方差）的自由度是n-1。計算統計量T的時候，同樣要計算樣本均值，所以t統計量的自由度也是n-1。

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